INVESTIGACION OPERATIVA: INVESTIGACIÒN OPERATIVA

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO “DAVID AUSUBEL”

TECNOLOGÍA EN: CONTABILIDAD Y AUDITORIA

INVESTIGACIÒN OPERATIVA

GUÍA DIDÁCTICA

NIVEL

SEXTO NIVEL

QUITO - ECUADOR

INTRODUCCIÓN

La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una de las ramas de la matemática aplicada cuyo desarrollo ha contribuido fuertemente para mejorar y elevar los niveles de productividad de las organizaciones, pasando por el desarrollo de modelos lineales en su inicio, hasta llegar al desarrollo de poderosos simuladores que permiten anticipar las implicaciones de una o más decisiones antes de ponerlas en práctica, minimizando de esta manera los riesgos de implementación.

El éxito de su aplicación ha sido demostrado en campos tan diferentes como el militar, las finanzas, la producción, los servicios, logística, medicina, nutrición, etc.

Espero sinceramente que el desarrollo de este módulo, despierte en el estudiante la curiosidad por aprender más sobre la Investigación Operativa y sus aplicaciones, así como también le permita poner en práctica todo lo desarrollado en clase con el fin de que pueda en su momento tomar decisiones oportunas y racionales.

UNIDAD 1	Introducción a la Investigación Operativa
1.1	Introducción, los modelos
1.2	Tipos de modelos
1.3	Otros tipos de modelos
1.4	Ejercicios sobre modelos probabilísticos

UNIDAD 2	Toma de decisiones

2.1	Toma de decisiones en condiciones de incertidumbre
2.2	Método de ganancias Condicionales
2.3	Método de Perdidas Condicionales
2.4	Método de Análisis Marginal
2.5	Ejercicios de Aplicación

UNIDAD 3	Optimización de funciones

3.1	Máximos y Mínimos de una función
3.2	Aplicaciones administrativas y económicas de
	máximos y mínimos en análisis marginal
3.3	Maximización de funciones Administrativas con
	múltiples variables
3.4	Método de multiplicaciones de Lagrange
3.5	Ejercicios de aplicación


	UNIDAD 4 RAZONAMIENTO Y PROGRAMACION LINEAL
	RAZONAMIENTO LOGICO RAZONAMIENTO VERBAL COMPRENSION LECTORA PROBABILIDADES 4.1 Definición, aplicaciones
4.2	Características generales de PL
4.3	Procedimientos para la solución de la PL
4.4	Métodos para la solución de problemas, intr.
4.5	Ejercicios de aplicación
4.6	Métodos para el PL máximos y mínimos

Desarrolla la capacidad para poder identificar, analizar, formular, y resolver problemas de decisión que surjan en sistemas reales.

A	³	B - 2
ó A - B		- 2
por último B - A	³	2

Mes	Meses-hombre requeridos	Mes	Meses-hombre requeridos
Enero	60	Abril	80
Febrero	50	Mayo	70
Marzo	60	Junio	100

Enero	R₁ + 0.2A₁	³	60
Febrero	R₂ + 0.2A₂	³	50
Marzo	R₃ + 0.2A₃	³	60
Abril	R₄ + 0.2A₄	³	80
Mayo	R₅ + 0.2A₅	³	70
Junio	R₆ + 0.2A₆	³	100
julio (principio)	R₇	³	110

Enero	R₁	=	58 (dado)
Febrero	R₂	=	0.9R₁ + A₁
Marzo	R₃	=	0.9R₂ + A₂
Abril	R₄	=	0.9R₃ + A₃
Mayo	R₅	=	0.9R₄ + A₄
Junio	R₆	=	0.9R₅ + A₅
Julio	R₇	=	0.9R₆ + A₆

CONTENIDO

COMPETENCIAS

COMPETENCIA GENERAL

Toma una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.

COMPETENCIAS DE UNIDADES

• Inculca la importancia del análisis racional y objetivo de los casos que se presentan.

• Desarrolla la capacidad para poder OPTIMIZAR que surjan en sistemas reales.

• Entregar las herramientas necesarias de la PROGRAMACION LINEAL

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

NOTA:

En este texto guía se encuentra desarrollados los temas que corresponden a este módulo, y las tareas que usted debe desarrollar; con la ayuda del tutor usted llegará a dominar el conocimiento.

1. El estudiante tiene las oportunidades que sean necesarias para aclarar los temas que no comprenda mediante la explicación del tutor ya sea de manera presencial o mediante el correo electrónico.

2. Las tareas serán enviadas por el tutor, de acuerdo a las fechas del calendario y de acuerdo al desarrollo del módulo.

3. Es obligación del estudiante asistir a cada una de las tutorías presenciales programadas en el calendario de actividades.

4. Todo trabajo del estudiante será evaluado cuantitativamente.

5. Al final el tutor evaluara el módulo en su totalidad.

6. De requerir cualquier información dirigirse al correo de la dirección académica y será atendido inmediatamente en su consulta.

GRACIAS.

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o cuantitativo.

El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que requiere de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución.

La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para hacer planes a futuro.

En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida.

En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones que se le presenten.

En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar sus decisiones.

Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de miles de millones. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento en la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es las tendencias de muchas de las componentes de una organización a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo con esto la visión de la forma en que encajan sus actividades y objetivos con los de toda la organización. Lo que es mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden terminar trabajando con objetivos opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la complejidad y la especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la Investigación Operativa o Investigación de Operaciones.

investigación de operaciones (IO).

Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico.

Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.

Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este período. Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la década de 1950.

Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de la computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tiene acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama de computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones.

Naturaleza de la investigación de operaciones

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la construcción, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluye la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite.

Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista organizacional. de esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella.

Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsqueda de la optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones.

Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización.

CÓMO SE TRABAJA EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

GRAFICO 1

METODOLOGIA DE INVESTIGACION OPERATIVA

LAS PRINCIPALES HERRAMIENTAS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Cuando hablamos de herramientas en IO, nos estamos refiriendo a los diferentes modelos teóricos (como por ejemplo, modelos de transporte y teoría de colas), y a otras disciplinas (como matemática, administración, economía, etcétera), que se utilizan como instrumentos de trabajo habitual para el profesional de la Investigación de Operaciones. Debe quedar claro, sin embargo, que cada día se agregan más tipos de modelos y otras disciplinas imposibles de enumerar en este momento.

De la misma manera la Investigación de Operaciones es considerada, ella misma como una herramienta al servicio de otras disciplinas (tal como reza el título de nuestros artículos). Es bien conocido que la Administración de Negocios se ha estado beneficiando grandemente de la Investigación de Operaciones ahora que se ha iniciado toda una revolución con el uso de Planificación Estratégica, Reingeniería y los programas de Calidad Total, para mencionar algunos.

A continuación presentamos una lista, no exhaustiva, de diferentes tipos de modelos que se podrían considerar como herramientas de la Investigación de Operaciones, sugerimos al lector revisarla y compararla con los contenidos de libros clásicos de I.O:

1. Modelos gráficos de programación lineal.

2. Modelos algebraicos de programación lineal.

3. Redes y programación lineal para transporte.

4. Modelos de toma de decisión en condiciones de incertidumbre.

5. Modelos de toma de decisión en condiciones de certeza.

6. Modelos Bayesianos.

7. Procesos estocásticos con cadenas de Markov.

8. Líneas de espera (Teoría de colas).

9. Modelos de optimización con redes para la planeación, ejecución y control de proyectos.

10. Cadenas de Markov para el reemplazo de activos fijos.

11. Modelos de inventarios determinísticos.

12. Modelos de inventarios probabilísticos.

13. Modelos de programación dinámica y teoría de juegos.

14. Modelos de simulación para la obtención de información experta.

15. Modelos heurísticos de autoaprendizaje y autocorrección.

Los expertos Hillier y Lieberman dicen en su tratado (usado como texto durante varias generaciones de estudiosos de la Investigación de Operaciones) con la Revolución Industrial se inventó la división del trabajo y esto trajo como consecuencia un crecimiento en la dimensión y complejidad de las organizaciones. Como ya lo hemos comentado, la superespecialización de los individuos, los departamentos de las industrias y aún las mismas industrias, produjo un efecto de aparente desorden (a veces aparente y a veces real) dentro de las organizaciones, ya que se intentaba armar rompecabezas con todas las piezas que producían los especialistas. Sin las técnicas y modelos de la I.O. la situación hubiese devenido en un caos, fue esta herramienta (o si lo queremos decir en términos más globales, las herramientas) la que permitió organizar todos los cabos sueltos y al mismo tiempo la situación hizo que la I.O. creciera.

Nosotros sabemos que la reingeniería propone olvidarnos de la división del trabajo y regresar a una especie de todología ya que esto evita los pasos laterales que no agregan valor a los procesos y nos da la opción de atender directamente al beneficiario del proceso ¡el cliente!. Las técnicas de redes, teoría de colas, modelos de inventarios, programación lineal, transporte, etcétera, aunado a la capacitación del personal y a la tecnología cambiante y agresiva son, en esta era de la Planificación Estratégica, los instrumentos indispensables para la Reingeniería y la Calidad Total.

PROGRAMACION LINEAL

Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios, incluyendo industrias medianas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Este problema de asignación puede surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación; etc. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.

Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamaño, tipo (blanco, integral u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si más de una alternativa satisfacen todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan, pueden quererse 100 gr. de pan blanco rebanado y hecho no antes de ayer. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y escoger las más barata.

Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado con éxito a estos y otros problemas.

La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL.

Supuestos de la programación lineal.

Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de un modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos.

El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es proporcional al valor de la variable de decisión. Producir dos veces más de producto producirá dos veces más de ganancia, contratando el doble de páginas en las revistas doblará el costo relacionado con las revistas. Es una Suposición de Proporción.

Además, la contribución de una variable a la función objetivo es independiente de los valores de las otras variables. La ganancia con una computadora Notebook es de $10,750.00, independientemente de cuantas computadoras Desktop se producen. Este es un Supuesto de Adición.

Análogamente, ya que cada restricción es lineal, la contribución de cada variable al lado izquierdo de cada restricción es proporcional al valor de la variable e independiente de los valores de cualquier variable.

Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser claros y precisos en la formulación del modelo puede ayudar a manejar situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.

El siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible. Es posible tomar una fracción de cualquier variable. Por ejemplo, en un problema de marketing, qué significa comprar 2.67 avisos en la televisión?. Es posible que la suposición de ser divisible sea insatisfecha en este ejemplo. O puede ser que tales unidades de 2.67 avisos correspondan a 2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso redondeando la solución serían 2,667 minutos con una mínima duda que esté cercana a la solución óptima. Si la suposición de divisible no es válida, entonces se usará la técnica de Programación Lineal Entera.

La última suposición es el Supuesto de Certeza. La Programación Lineal no permite incertidumbre en los valores.

Será difícil que un problema cumpla con todas las suposiciones de manera exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso del modelo. Un modelo puede ser aún útil aunque difiera de la realidad, si se es consistente con los requerimientos más estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones al interpretar los resultados.

Existen limitaciones prácticas para el uso de la PL. Una se relaciona con los cálculos. En general se necesita una computadora. Desafortunadamente, las calculadoras, aun las programables, son poco útiles, puesto que la PL tiene necesidad de gran cantidad de memoria o almacenamiento. Si no se tiene acceso a una computadora, se estará limitado a problemas muy sencillos. La otra limitación se refiere al costo de formular un problema de PL. En teoría, podría usarse PL, por ejemplo, para hacer las compras semanales de abarrotes. Sin embargo, sería necesario conocer todas las compras posibles que pueden realizarse (éstas serían las variables), además de cada restricción como sabor, número de comidas, vitaminas y proteínas. Es obvio que el costo de obtener todos estos datos excede lo que se podría ahorrar si se hicieran las compras óptimas. Antes de emprender una aplicación de PL, debe considerarse la disponibilidad y el costo de los datos necesarios.

Formulación de modelos de Programación Lineal.

Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa parte, resolver el problema casi siempre es fácil.

Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100 horas disponibles, la restricción será:

3A + 2B = 100

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación es que se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmación anterior puede escribirse como una desigualdad:

3A + 2B £ 100

Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son aceptables, ni tampoco los productos de variables. Además, la forma estándar para una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el doble de B, esto puede escribirse como:

A ³ 2B ó A - 2B ³ 0

Nótese que pueden moverse términos de un lado a otro de las desigualdades como si fuera un signo de igualdad. Pero al multiplicar una desigualdad por -1, el sentido de esta desigualdad se invierte. Puede ser necesario hacer esto para que los coeficientes del lado derecho sean positivos. Por ejemplo, si se quiere que A sea por lo menos tan grande como B - 2, entonces:

Una nota final sobre desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad en una ecuación. Todo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una variable extra. Por ejemplo:

B - A £ 2 es lo mismo que B - A + S = 2

en donde S representa la diferencia, o la holgura, entre B -A y 2. S se llama variable de holgura. Por otro lado, se restaría una variable de superávit en el caso siguiente:

A - 2B ³ 0 es lo mismo que A - 2B -S = 0

Algunos métodos de solución (como el Método Símplex) y la mayoría de los programas de computadora (como el MathProg, que viene en el ORCourseware, que acompaña al libro “Introducción a la Investigación de Operaciones” de los autores Hillier y Lieberman) requieren que todas las desigualdades se conviertan en igualdades.

La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero, es decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se querría una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro personas.

Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener un problema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del objetivo se llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el costo, el número de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema.

Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema, se usa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces, la forma:

Maximizar Z = 4A + 6Bó

Minimizar Z = 2x₁ + 5x₂

Se analiza una aplicación para ilustrar el formato de los problemas de Programación Lineal.

Planeación de la fuerza de trabajo.

El gerente de personal de “La Tortuga Veloz, S.A. de C.V.”, está analizando la necesidad de mano de obra semi calificada durante los próximos seis meses. Se lleva 1 mes adiestrar a una persona nueva. Durante este período de entrenamiento un trabajador regular, junto con uno en adiestramiento (aprendiz), producen el equivalente a lo que producen 1.2 trabajadores regulares. Se paga $500.00 mensuales a quien está en entrenamiento, mientras que los trabajadores regulares ganan $800.00 mensuales. La rotación de personal entre los trabajadores regulares es bastante alta, del 10% mensual. El gerente de personal debe decidir cuántas personas necesita contratar cada mes para adiestramiento. En seguida se da el número de meses-hombre necesarios. También se desea tener una fuerza de trabajo regular de 110 al principio de julio. En cuanto al 1º de enero, hay 58 empleados regulares.

Este problema tiene un aspecto dinámico, ya que la fuerza de trabajo en cualquier mes depende de la fuerza de trabajo regular y en adiestramiento del mes anterior. Para cualquier mes, el número total de meses-hombre disponibles se puede expresar como sigue:

Meses-hombre disponibles: R_i + 0.2A_i

en donde: R_i = número de trabajadores regulares al principio del mes

A_i = número de aprendices contratados en el mes.

Entonces los requerimientos de cada mes pueden expresarse por las restricciones:

Debido a la rotación, el 10% de los trabajadores regulares se van cada mes. Así, el número de trabajadores regulares disponibles, por ejemplo, al principio de febrero sería:

R₂ = 0.9R₁ + A₁

En la misma forma, pueden escribirse las ecuaciones para el número de trabajadores disponibles al principio de cada mes:

El objetivo global del gerente de personal es minimizar el costo. La función objetivo es:

Minimizar: Z = 800(R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + R₅ + R₆) + 500(A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ + A₆)

Ahora se tiene el problema en el formato general de PL con 13 variables y 14 restricciones.

Los tomadores de decisiones en las empresas establecen criterios que debe cumplir una solución y, después, buscan esa solución. En PL, los criterios se expresan como restricciones. Se exploran las soluciones posibles y se usa la función objetivo para elegir la mejor de entre aquellas que cumplen con los criterios. La PL se denomina técnica de optimización, pero optimiza sólo dentro de los límites de las restricciones. En realidad es un método de satisfacción de criterios.

Forma estándar de los modelos de Programación Lineal.[i]

Supóngase que existe cualquier número (digamos m) de recursos limitados de cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los recursos con números (1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n). Sea x_j (una variable de decisión) el nivel de la actividad j, para j = 1, 2, ..., n, y sea Z la medida de efectividad global seleccionada. Sea c_j el incremento que resulta en Z por cada incremento unitario en x_j (para j = 1, 2, ..., n). Ahora sea b_i la cantidad disponible del recurso i (para i = 1, 2, ..., m). Por último defínase a_ij como la cantidad de recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2, ..., n). Se puede formular el modelo matemático para el problema general de asignar recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir valores de x₁, x₂, ..., x_n para:

Maximizar Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n,

sujeto a las restricciones:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n £ b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n £ b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n £ b_my

x₁ ³ 0, x₂ ³0, ..., x_n ³ 0

Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos libros de texto adoptan otras formas) para el problema de PL. Cualquier situación cuya formulación matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL.

En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los modelos de PL. La función que se desea maximizar, c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n, se llama función objetivo. Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n, que representa el consumo total del recurso i) reciben el nombre de restricciones funcionales. De manera parecida, las restricciones x_j ³ 0 se llaman restricciones de no negatividad. Las variables x_j son las variables de decisión. Las constantes de entrada, a_ij, b_i, c_j, reciben el nombre de parámetros del modelo.

Solución Gráfica de Modelos Lineales con dos Variables.

Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que se tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar las desigualdades dadas por el problema, después encontrar el Área de Soluciones Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el valor óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución del problema.

Ejemplo: Problema de mezcla de productos.

Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas.

Paso 1: formulación del problema.

El primer paso para resolver el problema es expresarlo en términos matemáticos en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la producción de mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo:

Maximizar Z = 5x₁ + 5x₂

en donde: x₁ = número de mesas producidas

x₂ = número de sillas producidas

¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se lleva 12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La primera restricción es, entonces:

12x₁ + 8x₂ £ 96

La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva 6 horas, una silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas. Así:

6x₁ + 12x₂ £ 72

Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por lo menos dos mesas. Esto puede expresarse como:

x₁ ³ 2

Por último, las restricciones de no negatividad son:

x₁ ³ 0, x₂ ³ 0

Poniendo todo junto el modelo se tiene:

Maximizar Z = 5x₁ + 5x₂

Restricciones: 12x₁ + 8x₂ £ 96

6x₁ + 12x₂ £ 72

x₁ ³ 2

x₁ ³ 0, x₂ ³ 0

Paso 2: gráfica de las restricciones.

El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las restricciones en una gráfica. Esto puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se comenzará con las restricciones de no negatividad. Éstas se muestran en la siguiente figura:

En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas x₁ (mesas) y x₂ (sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada artículo que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región Factible puesto que es el único cuadrante en que pueden estar las soluciones. Los otros tres cuadrantes no son factibles, ya que requerirían la producción de cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas.

La siguiente restricción es x₁ ³ 2. La manera más sencilla de dibujar las restricciones de recursos es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en una ecuación y graficar la ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y abajo de la línea que resulta en el paso 1. Convertir una igualdad en una ecuación aquí significa ignorar la parte de “mayor que” o “menor que” de la restricción.

Así, en el ejemplo, x₁ ³ 2 se convierte en x₁= 2. Esta ecuación está trazada en la siguiente figura:

Cualquier punto en la línea x₁= 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la restricción es más amplia, ya que cualquier punto x₁ > 2 también la cumplirá. Esto incluye todos los puntos que están a la derecha de la línea x₁ = 2. Entonces, la región factible incluye todos los valores de x₁ que están sobre o a la derecha de la línea x₁ = 2.

La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como antes, primero se convierte en una ecuación: 6x₁ + 12x₂ = 72. Puede graficarse esta línea si se encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más sencillos de localizar son las intersecciones con los ejes X₁ y X₂. Para encontrar la intersección con el eje X₂ se hace x₁ = 0. La ecuación se reduce, entonces, a:

12x₂ = 72

x₂ = 6

La intersección con el eje X₁ se encuentra haciendo x₂ = 0. Así:

6x₁ = 72

x₁ = 12

Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:

Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la restricción. Cualquier punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de mano de obra y no es aceptable. En la siguiente figura se combina esta restricción con la anterior. En la región factible, ambas restricciones se cumplen.

La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior, primero se encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x₁ = 0, x₂ = 12 y x₁ = 8, x₂ =0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea, y como la restricción es del tipo menor o igual que, se sombrea el área que está abajo de la línea. El resultado se muestra en la siguiente figura:

Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada cumplirá con todas las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para seleccionar la solución óptima.

Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.

Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x₁ + 5x₂. Como todavía no se conoce el máximo valor factible de Z, no puede trazarse el óptimo de la función objetivo. No obstante, es posible suponer algunos valores para Z y graficar las líneas resultantes. En la siguiente figura se muestran las líneas para Z = 25 yZ = 50:

Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto sobre una línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Z. También, todas las líneas de indiferencia son paralelas entre sí. Estas propiedades gráficas pueden usarse para resolver el problema.

En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de indiferencia supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de indiferencia para Z = 50 está completamente fuera de la región factible. Para Z = 25, parte de la línea cae dentro de la región factible. Por tanto, existe alguna combinación de x₁ y x₂ que satisface todas las restricciones y da una ganancia total de $25. Por inspección, puede observarse que hay ganancias más altas que son factibles.

Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50, de las propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes, el punto óptimo estará sobre la línea de indiferencia más lejana al origen pero que todavía toque la región factible. Esto se muestra en la siguiente figura:

Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la intersección de las líneas de restricción para materiales y horas de mano de obra. Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación). Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en la función objetivo da la ganancia máxima:

Z = 5(6) + 5(3) = $45

Resumen del método gráfico.

Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:

1. Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones.

2. Grafíquese cada restricción.

3. Localícese la solución óptima.

Ejercicio:

Ejemplo: Problema de dieta.

Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50 unidades de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada kilogramo del alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y 7 unidades de vitamina Y; cada kilogramo del alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de Y. El alimento A cuesta 5 pesos/kilogramo y el alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo.

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